Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（2，0），M（8，0），N（0，8），若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=5，$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{1}{3}$-t）$\overrightarrow{OM}$+（$\frac{2}{3}$+t）$\overrightarrow{ON}$（t為實(shí)數(shù)），則|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值是（　�。�

• A． 4$\sqrt{2}$-3
• B． 4$\sqrt{2}$+3
• C． 4$\sqrt{2}$-1
• D． 5

Answer 1

分析 利用向量知識(shí)，確定P、Q的軌跡方程，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值．

解答 解：，A（-2，0），B（2，0），若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=5，設(shè)P（a，b），可得（a+2）（a-2）+b²=5，即a²+b²=9，
可得：M（8，0），N（0，8），∵$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{1}{3}$-t）$\overrightarrow{OM}$+（$\frac{2}{3}$+t）$\overrightarrow{ON}$，
∴P的軌跡是以半徑為3、圓心在原點(diǎn)的圓，
∴Q，M，N三點(diǎn)共線，
∴Q的軌跡方程為直線MN：x+y-8=0，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值是圓心到直線的距離減去半徑，即$\frac{|0+0-8|}{\sqrt{1+1}}$-3=4$\sqrt{2}$-3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定P、Q的軌跡方程是關(guān)鍵．