Question

【題目】為了讓觀(guān)賞游玩更便捷舒適，常州恐龍園推出了代步工具租用服務(wù).已知有腳踏自行車(chē)與電動(dòng)自行車(chē)兩種車(chē)型，采用分段計(jì)費(fèi)的方式租用.型車(chē)每分鐘收費(fèi)元（不足分鐘的部分按分鐘計(jì)算），型車(chē)每分鐘收費(fèi)元（不足分鐘的部分按分鐘計(jì)算），現(xiàn)有甲乙丙丁四人，分別相互獨(dú)立地到租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎行（各租一車(chē)一次），設(shè)甲乙丙丁不超過(guò)分鐘還車(chē)的概率分別為，并且四個(gè)人每人租車(chē)都不會(huì)超過(guò)分鐘，甲乙丙均租用型車(chē)，丁租用型車(chē)．

（1）求甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元的概率；

（2）求甲乙丙三人所付的費(fèi)用之和等于丁所付的費(fèi)用的概率；

（3）設(shè)甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【解析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元”， 即4人均不超過(guò)30分鐘。

（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10 ，其余2人付5，分3種情況。用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率公式與互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根據(jù)分類(lèi)可知隨機(jī)變量的所有取值為25，30，35，40，45，50,求出概率及期望。

（1）記“甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元”為事件，即4人均不超過(guò)30分鐘，

則 .

答：求甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元的概率是

（2）由題意，甲乙丙丁在分鐘以上且不超過(guò)分鐘還車(chē)的概率分別為，

設(shè)“甲乙丙三人所付費(fèi)用之和等于丁所付費(fèi)用”為事件，

則

答：甲乙丙三人所付的費(fèi)用之和等于丁所付的費(fèi)用的概率是．

（3）①若“4人均不超過(guò)30分鐘”此時(shí)隨機(jī)變量的值為25，即為事件，由（1）所以.

②記“4人中僅有一人超過(guò)30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過(guò)30分鐘的這一人是甲乙丙中的一個(gè)”和“超過(guò)30分鐘的這一人是丁”，分別將上述兩種情況記為

事件和.

i.事件對(duì)應(yīng)的的值為30，此時(shí)；

ii.事件對(duì)應(yīng)的的值為35，此時(shí).

③記“4人中僅有兩人超過(guò)30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過(guò)30分鐘的兩人是甲乙丙中的兩個(gè)”和“超過(guò)30分鐘的兩人是甲乙丙中的一個(gè)和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.

i.事件對(duì)應(yīng)的的值為35，此時(shí)；

i.事件對(duì)應(yīng)的的值為40，此時(shí)

④記“4人中僅有三人超過(guò)30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過(guò)30分鐘的三人是甲乙丙”和“超過(guò)30分鐘的三人是甲乙丙中的兩個(gè)和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.

i.事件對(duì)應(yīng)的的值為40，此時(shí)；

i.事件對(duì)應(yīng)的的值為45，此時(shí) .

⑤記“4人均超過(guò)30分鐘”為事件，則隨機(jī)變量的值為50，

此時(shí) ；

綜上：隨機(jī)變量的所有取值為25，30，35，40，45，50，且

；；

；

；

；；

所以甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和的分別為

	25	30	35	40	45	50

所以 .

答：甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為.