【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=4an﹣3(n∈N*).
(Ⅰ)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
【答案】解:(Ⅰ)證明:由Sn=4an﹣3,n=1時(shí),a1=4a1﹣3,解得a1=1. 因?yàn)镾n=4an﹣3,則Sn﹣1=4an﹣1﹣3(n≥2),
所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1 ,
整理得 .又a1=1≠0,
所以{an}是首項(xiàng)為1,公比為 的等比數(shù)列.
(Ⅱ)解:因?yàn)? ,
由bn+1=an+bn(n∈N*),得 .
可得bn=b1+(b2﹣b′1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)
= ,(n≥2).
當(dāng)n=1時(shí)上式也滿足條件.
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為
【解析】(Ⅰ)要證明數(shù)列為等比數(shù)列,只需證明數(shù)列的后一項(xiàng)比前一項(xiàng)為常數(shù)即可,先根據(jù)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1 , 求出數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式,再求 ,得道常數(shù),即可證明.(Ⅱ)先根據(jù)(Ⅰ)求數(shù)列{an}的遞推公式,代入bn+1=an+bn(n∈N*),可得數(shù)列{bn}的遞推公式,再用迭代法,即可求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式,需要了解等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列向量組中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( )
A.=(0,0) =(1,﹣2)
B.=(﹣1,2) =(3,7)
C.=(3,5) =(6,10)
D.=(2,﹣3) =( ,﹣ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(ex , lnx+k), =(1,f(x)), ∥ (k為常數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(xiàn)(x)=xexf′(x).
(1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)g(x)=﹣x2+2ax(a為正實(shí)數(shù)),若對(duì)任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且2acosC=2b﹣c.
(Ⅰ)求角A的大。
(Ⅱ)如果a=1,求b+c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直線l:x﹣y+3=0.當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為 時(shí),求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)(3,5)并與圓C相切的切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且 asinA=( b﹣c)sinB+( c﹣b)sinC.
(1)求角A的大;
(2)若a= ,cosB= ,D為AC的中點(diǎn),求BD的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】天然氣是較為安全的燃?xì)庵,它不含一氧化碳,也比空氣輕,一旦泄露,立即會(huì)向上擴(kuò)散,不易積累形成爆炸性氣體,安全性較高,其優(yōu)點(diǎn)有:①綠色環(huán)保;②經(jīng)濟(jì)實(shí)惠;③安全可靠;④改善生活. 某市政府為了節(jié)約居民天然氣,計(jì)劃在本市試行居民天然氣定額管理,即確定一個(gè)居民年用氣量的標(biāo)準(zhǔn),為了確定一個(gè)較為合理的標(biāo)準(zhǔn),必須先了解全市居民日常用氣量的分布情況,現(xiàn)采用抽樣調(diào)查的方式,獲得了位居民某年的用氣量(單位:立方米),樣本統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖表.
(1)分布求出的值;
(2)若從樣本中年均用氣量在(單位:立方米)的5位居民中任選2人作進(jìn)一步的調(diào)查研究,求年均用氣量最多的居民被選中的概率(5位居民的年均用氣量均不相等).
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