Question

過(guò)雙曲線(xiàn)

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上頂點(diǎn) A作斜率為1的直線(xiàn)，該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為 B、C，若

CA

=2

AB

，則雙曲線(xiàn)的離心率是（　　）

• A、

  5

• B、

  5

  4

• C、

  10

• D、

  10

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出直線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，解得交點(diǎn)B，C，再由向量的坐標(biāo)和向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，即可得到a=3b，運(yùn)用雙曲線(xiàn)的a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：雙曲線(xiàn)

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上頂點(diǎn)A為（0，a），
直線(xiàn)AB：y=x+a，
由直線(xiàn)y=x+a與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程y=

a

b

x，
可得交點(diǎn)C（

ab

a-b

，

a2

a-b

），
由直線(xiàn)y=x+a與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程y=-

a

b

x，
可得交點(diǎn)B（-

ab

a+b

，

a2

a+b

）．
由

CA

=2

AB

，可得
（

ab

b-a

，

ab

b-a

）=2（

-ab

a+b

，

-ab

a+b

），
即有

ab

b-a

=-

2ab

a+b

，
即2b-2a=-a-b，
即a=3b，
則c=

a2+b2

=

a2+ a2 9

=

10

3

a，
則e=

c

a

=

10

3

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線(xiàn)方程的運(yùn)用，及離心率的求法，同時(shí)考查向量共線(xiàn)定理的運(yùn)用，聯(lián)立直線(xiàn)方程求得交點(diǎn)B，C是解題的關(guān)鍵．