Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{{a^1}＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其右焦點到直線x-y+$\sqrt{3}$=0的距離為$\sqrt{6}$．
（I）求橢圓C的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）直線y=kx（k≠0）交橢圓C于M，N兩點，橢圓右頂點為A，求證：直線AM，AN的斜率乘積為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （I）利用右焦點到直線x-y+$\sqrt{3}$=0的距離為$\sqrt{6}$，求出c，利用離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，可得b，即可求橢圓C的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）直線y=kx（k≠0）與橢圓C聯(lián)立，可得（1+4k²）x²=4，求出直線AM和直線AN的斜率乘積，即可證明結(jié)論．

解答 解：（I）由題意，$\sqrt{6}$=$\frac{|c+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$，∴c=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由（I）可得橢圓右頂點A（2，0），由題意，直線AM和直線AN的斜率存在且不為0，
直線y=kx（k≠0）與橢圓C聯(lián)立，可得（1+4k²）x²=4，
不妨設(shè)x_M＞x_N，∴x_M=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，x_N=-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴y_M=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$•k，y_N=-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$•k，
∴直線AM和直線AN的斜率的積=$\frac{k}{1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}$•$\frac{k}{1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{4}$
∴直線AM和直線AN的斜率乘積為定值-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查橢圓C的標(biāo)準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．