Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²-e²x（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[0，1]時，總有f（x）＞xe^x-e²x+1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導(dǎo)，y=f（x）在點（2，f（2））處的切線平行于x軸，可知f（2）=0，即可求得a的值，寫出f（x）及f′（x）的表達式，令f′（x）=0，求得x的值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由f（x）＞xe^x-e²x+1，得（x-1）e^x-ax²+1＜0，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=（x-1）e^x-ax²+1，x∈[0，1]，求導(dǎo)，g′（x）=x（e^x-2a），討論a的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值，求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由f′（x）=）=e^x+2ax-e²得：y=f（x）在點（2，f（2））處的切線平行于x軸，k=4a=0，
則a=0，此時f（x）=e^x-e²x，f′（x）=）=e^x-e²，
f′（x）=0，得x=2，
當(dāng)x∈（-∞，2）時，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由f（x）＞xe^x-e²x+1，得：（x-1）e^x-ax²+1＜0，
設(shè)g（x）=（x-1）e^x-ax²+1，x∈[0，1]，則g′（x）=x（e^x-2a），
∵x∈[0，1]，
∴1＜e^x＜e，
①當(dāng)2a≤1，即a≤$\frac{1}{2}$，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，不符合要求，應(yīng)舍去；
②當(dāng)2a≥e，a≥$\frac{e}{2}$時，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=0，滿足要求；
③當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$，g′（x）=0，x=ln（2a），g（x）在（0，ln（2a）上單調(diào)遞減，
g（x）在（ln（2a），1）上單調(diào)遞增，
∵g（0）=0，g（1）=-a+1，令g（1）=-a+1≤0，得：1≤a≤$\frac{e}{2}$，
綜上可知求得a的取值范圍為[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)以及在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的解題方法和技巧，屬于難題．