Question

18．在△ABC中，|${\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}}$|=|${\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}}$|，AB=4，AC=2，E，F(xiàn)為線段BC的三等分點(diǎn)，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（　�。�

• A． $\frac{10}{9}$
• B． 4
• C． $\frac{40}{9}$
• D． $\frac{56}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得到三角形為直角三角形，由$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，即可求出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的值．

解答 解：在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
平方得|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
則∠BAC=90°，
由于E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，
則$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$，
又有$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}$，
則$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
又由AB=4，AC=2，
故$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{2}{9}×16+\frac{2}{9}×4$=$\frac{40}{9}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，根據(jù)條件判斷三角形是直角三角形以及熟練掌握向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．