Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

2

2

，且點P(

2

2

，1)在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點D（2，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)，試求△OEF面積的取值范圍（O為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

1

a2

+

1 2

b2

=1，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)l為y=k（x-2），由

y=k(x-2) y2 2 +x2=1

，得（k²+2）x²-4k²x+4k²-2=0，由此利用韋達(dá)定理、點到直線的距離公式能求出三角形的面積的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知得

1

a2

+

1 2

b2

=1，①
又由e=

c

a

=

2

2

，得c2=

1

2

a2=a2-b2，
從而得b2=

1

2

a2，②，
由①②，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓的方程為

y2

2

+x2=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，
故設(shè)l為y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y2 2 +x2=1

，得（k²+2）x²-4k²x+4k²-2=0，
∵直線l與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)，
∴△=16k⁴-4（k²+2）（4k²-2）=16-24k²＞0，
解得k2＜

2

3

．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理，得x1+x2=

4k2

k2+2

，x1x2=

4k2-2

k2+2

，
|EF|=

1+k2

•|x1-x2|=

2

k2+2

1+k2

•

4-6k2

，
設(shè)點O到直線EF的距離為d，則d=

2|k|

k2+1

，
S△OEF=

1

2

|EF|•d=

1

2

•

2

k2+2

1+k2

•

4-6k2

•

2|k|

k2+1

=2

4k2-6k4 (k2+2)2

，
令k²+2=t，則k²=t-2，
又0＜k2＜

2

3

，得2＜t＜

8

3

，
∴S△OEF=2

-6t2+28t-32 t2

=2

- 32 t2 + 28 t -6

=2

-32( 1 t - 7 16 )2+ 1 8

，
又2＜t＜

8

3

，得

3

8

＜

1

t

＜

1

2

，
當(dāng)

1

t

=

7

16

時，S_△OEF取最大值

2

2

，
∴S_△OEF的取值范圍為(0，

2

2

]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．