Question

19．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且acosB+acosC=b+c，則△ABC的形狀是直角三角形
（橫線上填“等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形”中的一個）．

Answer 1

分析 利用余弦定理角化邊化簡即可得出a，b，c的關系，從而得出答案．

解答 解：在△ABC中，∵acosB+acosC=b+c，
∴a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+a•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=b+c．
即$\frac{b（{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}）+c（{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}）}{2bc}$=b+c，
∴$\frac{（b+c）（{a}^{2}-^{2}-{c}^{2}+2bc）}{2bc}$=b+c．
∴a²-b²-c²+2bc=2bc，即a²=b²+c²．
∴△ABC是直角三角形．
故答案為：直角三角形．

點評 本題考查三角形的形狀判斷，著重考查余弦定理與化簡運算的能力，屬于中檔題．