Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+lnx+a+1．
（1）當(dāng)$a=-\frac{1}{4}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[1，+∞]時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y-x≤0\end{array}\right.\end{array}$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過a=-$\frac{1}{4}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0，然后求出極值點(diǎn)，然后求函數(shù)f（x）的極值；
（2）利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，導(dǎo)數(shù)小于0恒成立，然后求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）問題等價(jià)于a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）_max≤0即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f′（x）=-$\frac{（x-2）（x+1）}{2x}$（x＞0），
則當(dāng)0＜x＜2時(shí)f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，2）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＞2時(shí)f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)，
故當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)f（x）有極大值f（2）=$\frac{3}{4}$+ln2；
（2）f′（x）=2a（x-1）+$\frac{1}{x}$，因函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，
則f′（x）=2a（x-1）+$\frac{1}{x}$≤0在區(qū)間[2，4]上恒成立，
即2a≤$\frac{1}{{-x}^{2}+x}$在[2，4]上恒成立，
而當(dāng)2≤x≤4時(shí)，$\frac{1}{{-x}^{2}+x}$∈[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{12}$]，
2a≤-$\frac{1}{2}$，即a≤-$\frac{1}{4}$，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$]；
（3）因f（x）圖象上的點(diǎn)都在 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
即當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，
即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，
設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），
只需g（x）_max≤0即可，
由g′（x）=2a（x-1）+$\frac{1}{x}$-1=$\frac{2{ax}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$，
（i）當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，
函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（1）=0成立．
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=$\frac{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}{x}$，
令g'（x）=0，得x₁=1或x₂=$\frac{1}{2a}$，
①若$\frac{1}{2a}$≤1，即a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，在區(qū)間[1，+∞）上，g'（x）≥0，
函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；
②若$\frac{1}{2a}$＜1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
函數(shù)g（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞減，在區(qū)間[$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
同樣g（x）在[1，+∞）無最大值，不滿足條件．
（iii）當(dāng)a＜0時(shí)，因x∈[1，+∞），故g'（x）≤0，
則函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（1）=0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．