18.已知函數(shù)f(x)=2cosxsinx+$\sqrt{3}$(2cos2x-1).
(1)求f(x)的最大值;
(2)求f(2x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 化簡函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),(1)利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f(x)的最大值;
(2)求出f(2x)的解析式,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出它的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.

解答 解:函數(shù)f(x)=2cosxsinx+$\sqrt{3}$(2cos2x-1)
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin(2x+$\frac{π}{3}$);
(1)令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ,k∈Z,
得x=$\frac{π}{12}$+kπ,k∈Z,
此時f(x)取得最大值2;
(2)∵f(2x)=2sin(4x+$\frac{π}{3}$),
∴f(2x)的最小正周期為T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$;
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,k∈Z,
解得-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$,k∈Z,
∴f(2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是:
[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$,$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$],k∈Z.

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

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