Question

6．已知直線2x-y+m=0和圓O：x²+y²=5，
（1）m為何值時，沒有公共點；
（2）m為何值時，截得的弦長為2；
（3）若直線和圓交于A、B兩點，此時OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心到直線2x-y+m=0的距離，利用直線與圓無公共點，可得d＞r，即可得出結(jié)論；
（2）由平面幾何垂徑定理知r²-d²=1²，即可得出結(jié)論；
（3）由于交點處兩條半徑互相垂直，弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知，圓心為O（0，0），半徑r=$\sqrt{5}$，圓心到直線2x-y+m=0的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，
∵直線與圓無公共點，∴d＞r，即$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{5}$，
∴m＞5或m＜-5．
故當m＞5或m＜-5時，直線與圓無公共點．
（2）由平面幾何垂徑定理知r²-d²=1²，即5-$\frac{{m}^{2}}{5}$=1．
得m=±2$\sqrt{5}$，
∴當m=±2$\sqrt{5}$時，直線被圓截得的弦長為2．
（3）由于交點處兩條半徑互相垂直，
∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{5}$，
解得m=±$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故當m=±$\frac{5\sqrt{2}}{2}$時，直線與圓在兩交點處的兩條半徑互相垂直．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．