6.已知直線2x-y+m=0和圓O:x2+y2=5,
(1)m為何值時,沒有公共點;
(2)m為何值時,截得的弦長為2;
(3)若直線和圓交于A、B兩點,此時OA⊥OB,求m的值.

分析 (1)求出圓心到直線2x-y+m=0的距離,利用直線與圓無公共點,可得d>r,即可得出結(jié)論;
(2)由平面幾何垂徑定理知r2-d2=12,即可得出結(jié)論;
(3)由于交點處兩條半徑互相垂直,弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)由已知,圓心為O(0,0),半徑r=$\sqrt{5}$,圓心到直線2x-y+m=0的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$,
∵直線與圓無公共點,∴d>r,即$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$>$\sqrt{5}$,
∴m>5或m<-5.
故當(dāng)m>5或m<-5時,直線與圓無公共點.
(2)由平面幾何垂徑定理知r2-d2=12,即5-$\frac{{m}^{2}}{5}$=1.
得m=±2$\sqrt{5}$,
∴當(dāng)m=±2$\sqrt{5}$時,直線被圓截得的弦長為2.
(3)由于交點處兩條半徑互相垂直,
∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形,
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r,即$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{5}$,
解得m=±$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
故當(dāng)m=±$\frac{5\sqrt{2}}{2}$時,直線與圓在兩交點處的兩條半徑互相垂直.

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.

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