Question

20．已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當x≠0時，有f′（x）＞2x²+$\frac{f（x）}{x}$，若a=f（1）-1，b=-$\frac{1}{2}$f（-2）-4，c=f（0）-1，則一定成立的是（　　）

• A． a＞b
• B． a＜c
• C． b＞c
• D． a＜b

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x），求出g（x）的單調(diào)性和奇偶性，從而比較函數(shù)值的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$-x²，（x≠0），
g′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）-{2x}^{3}}{{x}^{2}}$，
當x≠0時，有f′（x）＞2x²+$\frac{f（x）}{x}$，
故x＞0時，xf′（x）-f（x）-2x³＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（-x）=-f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$-x²=$\frac{f（x）}{x}$-x²=g（x），
∴g（x）是偶函數(shù)，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，
而g（1）=f（1）-1=a，g（2）=g（-2）═-$\frac{1}{2}$f（-2）-4=b，
∴a＜b，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．