Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-a（a∈R，e=2.71828…）．
（Ⅰ）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求證：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有$\frac{2}{2+1}$×$\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}+1}$×…×$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=e^x-ex-e，f′（x）=e^x-e，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)，f′（x）=e^x-1，對(duì)任意的正整數(shù)n，f′（x）＞0，f（x）＞0恒成立，從而可化出ln（x+1）≤x，令x=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），從而得到ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，累加求和，化簡(jiǎn)即可求得$\frac{2}{2+1}$×$\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}+1}$×…×$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{1}{e}$．

解答 解：（Ⅰ） 當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=e^x-ex-e，
求導(dǎo)：f′（x）=e^x-e，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，
∴f（1）=-e，
函數(shù)f（x）無(wú)極大值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
任意的正整數(shù)n，f′（x）=e^x-1＞0，
∴f（x）=e^x-x-1，單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)取最小值，f（1）=e-2＞0，
∴f（x）=e^x-x-1＞0恒成立，
即e^x＞x-1，
∴l(xiāng)n（x+1）＜x，
令x=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N*），
得ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴l(xiāng)n（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
∴（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）•…•（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e，
∴$\frac{1}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{{2}^{2}}）•…•（1+\frac{1}{{2}^{n}}）}$＞$\frac{1}{e}$，
即$\frac{2}{2+1}$×$\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}+1}$×…×$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，難點(diǎn)在于證明不等式時(shí)函數(shù)的構(gòu)造與化簡(jiǎn)，屬于難題．