Question

19．已知關于x的方程x²-alnx-ax=0有唯一解，則實數a的取值范圍為（-∞，0）∪{1}．

Answer 1

分析 由題意有x²=alnx+ax=a（lnx+x）   ①，則①可變換為：$\frac{1}{a}$=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$   ②；方程x²-alnx-ax=0有唯一解即②式中y=$\frac{1}{a}$ 與 g（x）圖形有唯一交點；

解答 解：因為f（x）=x²-alnx-ax=0，即有x²=alnx+ax=a（lnx+x）   ①，函數定義域為x∈（0，+∞）；
∵x²＞0，∴a≠0，且lnx+x≠0，
則①可變換為：$\frac{1}{a}$=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$   ②；
令g（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$ （x＞0），則g'（x）=$\frac{-x-lnx+1}{{x}^{3}}$；
方程x²-alnx-ax=0有唯一解即②式中y=$\frac{1}{a}$ 與 g（x）圖形有唯一交點；
令g'（x）=0，則導函數零點x=1；
∴當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，則g（x）在（0，1）上單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0，則g（x）在（1，+∞）上單調遞減；
要使得y=$\frac{1}{a}$ 與 g（x）圖形有唯一交點，即$\frac{1}{a}$=1 或  $\frac{1}{a}＜0$⇒a=1或a＜0
故答案為：（-∞，0）∪{1}

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數單調性，以及方程根與圖形交點之間的關系，屬中等題．