Question

19．已知f（x）為偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1，則滿足f[f（a）+$\frac{1}{2}$]=$\frac{1}{2}$的實數(shù)a的個數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 利用換元法將函方程轉(zhuǎn)化為f（t）=$\frac{1}{2}$，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：設(shè)t=f（a）+$\frac{1}{2}$，
則條件等價為f（t）=$\frac{1}{2}$，
若x≤0，則-x≥0，
∵當x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1，
∴當-x≥0時，f（-x）=-（-x-1）²+1=-（x+1）²+1，
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=-（x+1）²+1=f（x），
即f（x）=-（x+1）²+1，x≤0，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當x≥0時，由-（x-1）²+1=$\frac{1}{2}$，得（x-1）²=$\frac{1}{2}$，則x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴當x＜0時，f（x）=$\frac{1}{2}$的解為x₃=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₄=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
綜上所述，f（t）=$\frac{1}{2}$得解為t₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$或t₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，t₃=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，t₄=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
由t=f（a）+$\frac{1}{2}$得，
若t₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則f（a）+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即f（a）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞1，此時a無解，
若t₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則f（a）+$\frac{1}{2}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即f（a）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈（-∞，0），此時a有2個解，
若t₃=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則f（a）+$\frac{1}{2}$=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即f（a）=-$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈（-∞，0），此時a有2個解，
若t₄=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則f（a）+$\frac{1}{2}$=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即f（a）=-$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈（-∞，0），此時a有2個解，
故共有2+2+2=6個解．
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．