Question

11．如圖，在正方形OABC內(nèi)，陰影部分是由兩曲線y=$\sqrt{x}$，y=x²（0≤x≤1）圍成，在正方形內(nèi)隨機取一點，且此點取自陰影部分的概率是a，則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x（x≥a）}\\{（\frac{1}{3}）^{x}（x＜a）}\end{array}\right.$的值域為[-1，+∞）．

Answer 1

分析 由定積分求陰影面積，由幾何概型可得a，即可求出概率．

解答 解：由題意和定積分可得陰影部分面積：
S=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{x}$-x²）dx=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴由幾何概型可得此點取自陰影部分的概率P=$\frac{1}{3}$，即a=$\frac{1}{3}$．
x≥$\frac{1}{3}$，log₃x≥-1，x＜$\frac{1}{3}$，$（\frac{1}{3}）^{x}＞（\frac{1}{3}）^{\frac{1}{3}}$，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x（x≥a）}\\{（\frac{1}{3}）^{x}（x＜a）}\end{array}\right.$的值域為[-1，+∞）．
故答案為：[-1，+∞）．

點評 本題考查幾何概型，涉及定積分求面積，函數(shù)的值域，屬中檔題．