Question

9．正方形ABCD的邊長為1，把三角形ABD沿對角線BD翻折，使得面ABD⊥面BCD后，有如下四個結(jié)論：
（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等邊三角形；（3）四面體A-BCD的表面積為$1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（4）四面體A-BCD的內(nèi)切球半徑是$\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}}{6}$．
則正確結(jié)論的序號為（1）（2）（3）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由圖形中所給的位置關(guān)系，逐一判斷（1）、（2）、（3），利用等積法求出四面體A-BCD的內(nèi)切球半徑判斷（4）．

解答 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：
二面角A-BD-C為90°，E是BD的中點，可以得出∠AEC=90°，為直二面角的平面角；
對于（1），由于BD⊥面AEC，得出AC⊥BD，命題（1）正確；
對于（2），在等腰直角三角形AEC中，可以求出AC=$\sqrt{2}$AE=AD=CD，
所以△ACD是等邊三角形，命題（2）正確；
對于（3），四面體ABCD的表面積為
S=2S_△ACD+2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}$×1²×sin60°+2×$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
命題（3）正確；
對于（4），由題意可知，△ABC、△ADC是邊長為1的正三角形，面積為$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
設(shè)四面體A-BCD的內(nèi)切球半徑為r，則$\frac{1}{3}（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）r=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$r=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，命題（4）錯誤．
綜上，正確的命題是（1）（2）（3）．
故答案為：（1）（2）（3）．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．