Question

16．已知函數(shù)f（x）=mxlnx-x，m∈[0，+∞），x∈（1，+∞）
（Ⅰ）若關于x的不等式f（x）＞-1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當x₁＞x₂＞1時，比較x${\;}_{1}^{{x}_{2}-1}$，x${\;}_{2}^{{x}_{1}-1}$的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）對m進行討論，判斷f（x）的單調(diào)性，得出令f_min（x）＞-1即可得出m的范圍；
（II）令g（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，根據(jù)（I）的結論得出g（x）的單調(diào)性，利用g（x）的單調(diào)性得出結論．

解答 解：（I）f′（x）=mlnx+m-1，
①若m=0，則f′（x）=-1＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）＜f（1）=-1，不符合題意；
②若m＞0，令f′（x）=0得x=e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$．
（i）若e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$≤1，即m≥1時，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（1）=-1，符合題意．
（ii）若e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$＞1，即0＜m＜1，則當1＜x＜e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$時，f′（x）＜0，當x＞e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（1，e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$）上單調(diào)遞減，在（e${\;}^{\frac{1}{m}-1}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）＜f（1）=-1，不符合題意．
綜上，m的取值范圍是[1，+∞）．
（II）令g（x）=$\frac{lnx}{x-1}$（x＞1），則g′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-xlnx-1}{x（x-1）^{2}}$．
由（1）知當m=1時，f（x）=xlnx-x＞-1恒成立，
∴x-xlnx＜1，∴g′（x）=$\frac{x-xlnx-1}{x（x-1）^{2}}$＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
又x₁＞x₂＞1，∴g（x₁）＜g（x₂），即$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$＜$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$，
∴（x₂-1）lnx₁＜（x₁-1）lnx₂，
即lnx₁${\;}^{{x}_{2}-1}$＜lnx₂${\;}^{{x}_{1}-1}$．
∴x₁${\;}^{{x}_{2}-1}$＜x₂${\;}^{{x}_{1}-1}$．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于中檔題．