Question

1．己知函數f（x）=e^x-ex，g（x）=2ax+a，其中e為自然對數的底數，a∈R．
（1）求證：f（x）≥0；
（2）若存在x₀∈R，使f（x₀）=g（x₀），求a的取值范圍；
（3）若對任意的x∈（-∞，-1），f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）的單調性，利用單調性求出f（x）的最小值，即可得出結論；
（2）令f（x）=g（x），分離參數得a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，求出右側函數的值域即為a的范圍；
（3）令f（x）≥g（x），分離參數得a≥$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，則右側函數在（-∞，-1）上的最大值為a的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-e，
∴當x＞1時，f′（x）＞0，當x＜1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
∴f_min（x）=f（1）=0，
∴f（x）≥0．
（2）令f（x）=g（x）得a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，
設h（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{{（2x+1）}^{2}}$，
∴當x＞$\frac{1}{2}$時，h′（x）＞0，當x＜$\frac{1}{2}$時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是減函數，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數，
∵x→-${\frac{1}{2}}^{-}$時，h（x）→-∞，x→-∞時，h（x）→-$\frac{e}{2}$，h（1）=0，
x→-${\frac{1}{2}}^{+}$時，h（x）=+∞，x→+∞時，h（x）=+∞．
∵存在x₀∈R，使f（x₀）=g（x₀），∴a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，
有解．
∴a≥0或a＜-$\frac{e}{2}$
（3）∵當x∈（-∞，-1）時，f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-ex≥a（2x+1）在（-∞，-1）上恒成立，
∴a≥a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$在（-∞，-1）上恒成立．
由（2）可知h（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$在（-∞，-1）上是減函數，
且x→-∞時，h（x）=-$\frac{e}{2}$，
∴a≥-$\frac{e}{2}$
即a的最小值為-$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，函數最值得計算，屬于中檔題．