Question

15．已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)P在雙曲線$C：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$上．
（1）當(dāng)|PA|最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）過A點(diǎn)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OMN的面積為$2\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出P的坐標(biāo)，得到|PA|，結(jié)合雙曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的函數(shù)，利用配方法求得|PA|的最小值，并求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）由題意設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，由三角形面積列式求得直線的斜率，則答案可求．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則|PA|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}=\sqrt{2+2{y}^{2}+（y-1）^{2}}=\sqrt{3（y-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{8}{3}}$．
當(dāng)y=$\frac{1}{3}$時(shí)，|PA|最小，
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$±\frac{2\sqrt{5}}{3}，\frac{1}{3}$）；
（2）由題知直線l的斜率存在，故可設(shè)l的方程為y=kx+1，
與雙曲線方程聯(lián)立得（1-2k²）x²-4kx-4=0．
則△=16（1-k²）＞0且$\frac{-4}{1-2{k}^{2}}＜0$，解得${k}^{2}＜\frac{1}{2}$．
∴${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}•1•|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{16（1-{k}^{2}）}}{1-2{k}^{2}}=2\sqrt{3}$，
解得：${k}^{2}=\frac{1}{4}$或${k}^{2}=\frac{2}{3}$（舍）．
∴l(xiāng)的方程為y=$±\frac{1}{2}x+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．