Question

20．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P、Q分別是正方形AA₁D₁D和A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）證明：PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）求線段PQ的長；
（3）求PQ與B₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）證明線面平行，轉(zhuǎn)化成線線平行即可證明．要證明PQ∥平面DD₁C₁C；只需要在平面DD₁C₁C內(nèi)找一條直線與PQ即可．
（2）求長度問題，要構(gòu)造出三角形．
（3）求異面直線所成的角，分別找到兩條異面直線的平行線，且交于一點，即可得到異面直線的角．

解答 解：（1）∵P、Q分別是正方形AA₁D₁D和A₁B₁C₁D₁的中心，即P、Q分別是AD₁與B₁D₁的中點；
取DD₁的中點E，取C₁D₁的中點F，連接PE、QF，EF，可得PE${\;}_{=}^{∥}$A₁D₁，QE${\;}_{=}^{∥}$C₁B₁，
∴平面QPEF是平行四邊形，QP∥EF，
∵EF∈平面DD₁C₁C；
∴PQ∥平面DD₁C₁C
得證

（2）取A₁D₁的中點M，連接MP，MQ，
∵P、Q分別是A₁D與B₁D₁的中點；
∴PM${\;}_{=}^{∥}$DD₁，QM${\;}_{=}^{∥}$A₁B₁，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴PM⊥QM
∴△MPQ是等腰直角三角形．
PM=QM=$\frac{1}{2}$
∴PQ=$\sqrt{M{Q}^{2}+M{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（3）∵B₁C${\;}_{=}^{∥}$A₁D，B₁C交PQ于P，
∴PQ與B₁C所成的角即為A₁D與PQ所成的角，即是∠PA₁Q，
∵PA₁=A₁Q=$\frac{1}{2}$B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（2）可知PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△A₁PQ是等邊三角形，
∴∠PA₁Q=$\frac{π}{3}$．
所以PQ與B₁C所成的角為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查線面平行證明，轉(zhuǎn)化成線線平行；求長度問題，要構(gòu)造出可求的三角形．
考查了異面直線所成角的求法；注重空間思維能力的培養(yǎng)和輔助線的經(jīng)驗總結(jié)．是中檔題．