Question

17．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AM⊥平面BDF；
（Ⅲ） 求A點(diǎn)到面BDF的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明四邊形AMEO是平行四邊形，可得AM∥OE，OE在平面BDE面內(nèi)，AM在平面BDE面外，滿足線面平行的判定定理所需條件，從而證得結(jié)論；
（Ⅱ）證明AC⊥BD，BD⊥AM，又BD∩OF=O，即可證明AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）利用V_A-BDF=V_F-ABD，求出A到面BDF的距離．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)底面對角線的交點(diǎn)為O，連接EO． …（1分）
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF為矩形
∴EM∥AO且EM=AO
∴AM∥OE
又因?yàn)镺E?平面BDE 且AM?平面BDE---------------------（3分）
∴AE∥平面BDE．------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連OF，OM
在矩形ACEF中，$AB=\sqrt{2}$，AF=1
所以，AOMF為正方形，故AM⊥OF---------------------（6分）
又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且交線為AC
在正方形ABCD中，故AC⊥BD
由面面垂直的性質(zhì)定理，BD⊥面ACEF-
又AM?面ACEF
所以BD⊥AM----------------------------------------------------------（8分）
又BD∩OF=O，故AM⊥平面BDF---------------------（9分）
（Ⅲ）解：V_A-BDF=V_F-ABD，設(shè)A到面BDF的距離為h，∴$\frac{1}{3}{S_{△BDF}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•AF$---------------（11分）
∴$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$---------------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了線面平行的判定和線面垂直的判定、三棱錐體積的計(jì)算，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．