Question

17．對于兩個(gè)圖形F₁，F(xiàn)₂，我們將圖形F₁上的任意一點(diǎn)與圖形F₂上的任意一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫作圖形F₁與圖形F₂的距離．若兩個(gè)函數(shù)圖象的距離小于1，稱這兩個(gè)函數(shù)互為“可及函數(shù)”．給出下列幾對函數(shù)，其中互為“可及函數(shù)”的是（　�。�

• A． f（x）=cosx，g（x）=2
• B． $f（x）={log_2}（{{x^2}-2x+5}），g（x）=sin\frac{π}{2}x$
• C． $f（x）=\sqrt{4-{x^2}}，g（x）=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$
• D． $f（x）=x+\frac{2}{x}，g（x）=lnx+2$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象求出A，B，C中函數(shù)圖象的距離，利用導(dǎo)數(shù)求出D中f（x）-g（x）的最小值，得出函數(shù)圖象距離的最小值與1的關(guān)系．

解答 解：對于A，當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）與g（x）的函數(shù)圖象的距離等于1，不符合題意；
對于B，∵y=x²-2x+5在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=2，又g_max（x）=g（1）=1，
∴f（x）與g（x）的距離為2-1=1，不符合題意；
對于C，f（x）的圖象為以（0，0）為圓心，以2為半徑的上半圓，圓心到直線g（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{4}$的距離為$\frac{15}{5}$=3，
∴f（x）與g（x）的距離為3-2=1，不符合題意；
對于D，令h（x）=f（x）-g（x）=x+$\frac{2}{x}$-lnx-2，
則h′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h_min（x）=h（2）=1-ln2＜1，
∴f（x）與g（x）的距離≤h_min（x）＜1，符合題意．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)圖象，距離計(jì)算，及函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．