6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+6$，
（1）求函數(shù)的極值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[-3，4]上的最大值與最小值．

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出極值，
（2）分別求出端點(diǎn)值和極值，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x3-4x+6，
∴f′（x）=x2-4，
令f′（x）=0，解得x=-2，或2，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＜-2或x＞2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即-2＜x＜2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有極大值，即f（-2）=-$\frac{8}{3}$+8+6=$\frac{34}{3}$，
故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值，即f（2）=$\frac{8}{3}$-8+6=$\frac{2}{3}$
（2）由（1）可知，f（x）在[-3，-2）或[2，4]上單調(diào)遞增，在（-2，2）上單調(diào)遞減，
∵f（-3）=-9+12+6=9，f（4）=$\frac{64}{3}$-16+6=$\frac{34}{3}$，且由（1）f（-2）=$\frac{34}{3}$，f（2）=$\frac{8}{3}$-8+6=$\frac{2}{3}$，
∴函數(shù)在區(qū)間[-3，4]上的最大值為$\frac{34}{3}$與最小值$\frac{2}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值最值的關(guān)系，掌握求最值的步驟是關(guān)鍵，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，則此雙曲線的離心率e為（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．2C．2$\sqrt{2}$D．$\frac{\sqrt{7}}{2}$

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17．對(duì)于兩個(gè)圖形F1，F(xiàn)2，我們將圖形F1上的任意一點(diǎn)與圖形F2上的任意一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫作圖形F1與圖形F2的距離．若兩個(gè)函數(shù)圖象的距離小于1，稱這兩個(gè)函數(shù)互為“可及函數(shù)”．給出下列幾對(duì)函數(shù)，其中互為“可及函數(shù)”的是（　　）
A．f（x）=cosx，g（x）=2B．$f（x）={log_2}（{{x^2}-2x+5}），g（x）=sin\frac{π}{2}x$
C．$f（x）=\sqrt{4-{x^2}}，g（x）=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$D．$f（x）=x+\frac{2}{x}，g（x）=lnx+2$

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14．設(shè)集合$M=\{y|y={x^{\frac{1}{2}}}，1≤x≤9\}$，N={x|y=log2（2-x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（　�。�
A．{x|2≤x≤3}B．{x|1≤x≤2}C．$\{x|1≤x≤\sqrt{3}\}$D．∅

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1．已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求a的值．

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11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx+1}{x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

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18．設(shè)a與b為正數(shù)，并且滿足a+b=1，a2+b2≥k，則k的最大值為（　�。�
A．$\frac{1}{8}$B．$\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{2}$D．1

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15．已知函數(shù)f（x）=ex-x-2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若k為正整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{1}{f'（x）}+1＞\frac{k}{x+1}$，求k的最大值．

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16．設(shè)函數(shù)$f（x）={e^x}-ax-\frac{a}{2}$（x∈R，實(shí)數(shù)a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，$\sqrt{e}=1.64872…$）．
（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若ex≥lnx+m對(duì)任意x＞0恒成立，求證：實(shí)數(shù)m的最大值大于2.3．

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