【題目】如圖①所示，四邊形為等腰梯形，，且于點(diǎn)為的中點(diǎn)．將沿著折起至的位置，得到如圖②所示的四棱錐.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線，且，而，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面與平面的法向量，利用兩個(gè)法向量求得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）取的中點(diǎn)，連接．

∵為的中點(diǎn)，

∴，且，

∵圖①中四邊形為等腰梯形，，且，

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

∵平面平面，

∴平面

（2）易證兩兩垂直，故以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∴，

所以，設(shè)平面的法向量為．

則令，得，

顯然為平面的一個(gè)法向量，

所以，

由圖知平面與平面所成的二面角為銳角，所以所求的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)一批產(chǎn)品需要原材料500噸，每噸原材料可創(chuàng)造利潤(rùn)12萬(wàn)元，該公司通過(guò)設(shè)備升級(jí)，生產(chǎn)這批產(chǎn)品所需原材料減少了噸，且每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)提高；若將少用的噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開(kāi)發(fā)的產(chǎn)品，每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)為萬(wàn)元．

（1）若設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤(rùn)不低于原來(lái)生產(chǎn)該批產(chǎn)品的利潤(rùn)，求的取值范圍；

（2）若生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤(rùn)始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批產(chǎn)品的利潤(rùn)，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線

(1)化的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；

(2)若上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，Q為上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程式為.

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為Tn，并且滿足條件a1>1，a49a50－1>0，(a49－1)(a50－1)<0.給出下列結(jié)論：

①0<q<1；②a1a99－1<0；③T49的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于98.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)為其右焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，數(shù)列中，對(duì)任意正整數(shù)

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)及公比的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓與直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線截圓所得弦長(zhǎng)為，求直線的方程；

（3）設(shè)圓與軸的負(fù)半抽的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交圓于兩點(diǎn)，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合，集合．

（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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