Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，$\sqrt{3}$asinB+bcosA=c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{3}$c，S_△ABC=2$\sqrt{3}$，求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡已知的式子，由內角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B；
（Ⅱ）根據(jù)條件和三角形的面積公式求出c、a，再由余弦定理求出b．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，$\sqrt{3}$asinB+bcosA=c，
由正弦定理得$\sqrt{3}$sinAsinB+sinBcosA=sinC
所以$\sqrt{3}$sinAsinB+sinBcosA=sin（A+B），
即$\sqrt{3}$sinAsinB=sinAcosB，
由sinA≠0得，$\sqrt{3}$sinB=cosB，則tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又0＜B＜π，所以B=30°．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和a=2$\sqrt{3}$c得，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c²=2$\sqrt{3}$，解得c=2，a=4$\sqrt{3}$．
由余弦定理得b²=a²+c²-$\sqrt{3}$ac=28，
所以b=2$\sqrt{7}$．…（12分）

點評 本題考查正弦定理和余弦定理的應用，以及三角形的面積公式，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．