Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，雙曲線 x²-y²=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，則橢圓C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1

Answer 1

分析 確定雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x，根據(jù)以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，可得（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）在橢圓上，再結(jié)合橢圓的離心率，即可確定橢圓的方程．

解答 解：由題意，雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x，
∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，∴邊長為$2\sqrt{2}$，
∴（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1$，①
∵橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，則a²=2b²，②
聯(lián)立①②解得：a²=6，b²=3．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓及雙曲線的性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵，是中檔題．