Question

3．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ax²-x（a＞0）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若存在x₀∈[0，+∞），使f（x₀）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）由題意可得ln（x+1）+ax²-x＜0在（0，+∞）成立．即有a＜$\frac{x-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，x＞0，由g（x）=$\frac{x-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，x＞0，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，可得g（x）-$\frac{1}{2}$＜0，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+x-1，
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為0，切點(diǎn)為（0，0），
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=0：
（2）f（x）=ln（x+1）+ax²-x（a＞0）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+2ax-1=$\frac{2ax（x+\frac{2a-1}{2a}）}{x+1}$，
①當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$≥0，可得f（x）在（-1，+∞）遞增；
②當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，-$\frac{2a-1}{2a}$=-1+$\frac{1}{2a}$＞-1，由f′（x）＜0，可得-$\frac{2a-1}{2a}$＜x＜0；
由f′（x）＞0，可得-1＜x＜-$\frac{2a-1}{2a}$或x＞0；
③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，-$\frac{2a-1}{2a}$＞0，由f′（x）＜0，可得0＜x＜-$\frac{2a-1}{2a}$；
由f′（x）＞0，可得-1＜x＜0或x＞-$\frac{2a-1}{2a}$．
綜上可得，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-1，+∞）遞增；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-$\frac{2a-1}{2a}$，0）遞減；在（-1，-$\frac{2a-1}{2a}$），（0+∞）遞增；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，-$\frac{2a-1}{2a}$）遞減；在（-1，0），（-$\frac{2a-1}{2a}$，+∞）遞增．
（3）存在x₀∈[0，+∞），使f（x₀）＜0成立，
即為ln（x+1）+ax²-x＜0在（0，+∞）成立．
即有a＜$\frac{x-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，x＞0，
由g（x）=$\frac{x-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，x＞0，
g（x）-$\frac{1}{2}$=$\frac{x-ln（1+x）}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2x-2ln（1+x）-{x}^{2}}{2{x}^{2}}$，
由h（x）=2x-2ln（x+1）-x²，h′（x）=2-$\frac{2}{x+1}$-2x=$\frac{-2{x}^{2}}{x+1}$＜0，
可得h（x）在（0，+∞）遞減，可得h（x）＜h（0）=0，
則g（x）＜$\frac{1}{2}$成立，
由題意可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，即a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及分類討論的思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．