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3.雙曲線x2a2y22=1(a>0,b>0)左右焦點分別為F1、F2,以F1F2為邊作正三角形,與雙曲線在第一二象限的交點恰是所在邊中點,則雙曲線的離心率為(  )
A.23+1B.3C.3+1D.23

分析 根據(jù)雙曲線的對稱性可推斷出三角形的頂點在y軸,根據(jù)正三角形的性質求得頂點的坐標,進而求得正三角形的邊與雙曲線的交點,代入雙曲線方程與b2=c2-a2聯(lián)立整理求得e.

解答 解:雙曲線恰好平分正三角形的另兩邊,
頂點就在Y軸上坐標是(0,3c)或(0,-3c),
那么正三角形的邊與雙曲線的交點就是邊的中點(c23c2c)
在雙曲線上代入方程c24a2-3c24b2=1
聯(lián)立 b2=c2-a2求得e4-8e2+4=0
求得e=3+1,
故選:C.

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質.考查了學生對雙曲線基礎知識的綜合把握,屬于中檔題.

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A.2B.1C.4D.3

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