Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$•（3ⁿ-1）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n²+log₃a_n，求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)b_n=9^n-1+n-1，從而利用拆項(xiàng)求和法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$•（3¹-1）=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{1}{2}$•（3ⁿ-1）-$\frac{1}{2}$•（3^n-1-1）
=$\frac{1}{2}$•（3-1）•3^n-1
=3^n-1；
綜上所述，a_n=3^n-1；
（2）b_n=a_n²+log₃a_n=（3^n-1）²+log₃3^n-1
=9^n-1+n-1，
故b₁+b₂+…+b_n
=（1+0）+（9+1）+（81+2）+…+（9^n-1+n-1）
=（1+9+81+…+9^n-1）+（0+1+2+…+n-1）
=$\frac{1（1-{9}^{n}）}{1-9}$+$\frac{（0+n-1）}{2}$n
=$\frac{{9}^{n}-1}{8}$+$\frac{1}{2}$n（n-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式的方法應(yīng)用，同時(shí)考查了拆項(xiàng)求和法的應(yīng)用．