Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x²-x+1）e^x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=（x²+x）e^x，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由f′（x）=（x²+x）e^x，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x-1）e^x+（x²-x+1）e^x=（x²+x）e^x，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞）；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0）．
（2）∵f′（x）=（x²+x）e^x，
∴x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0．
又f（-1）=（1+1+1）e^-1=$\frac{3}{e}$，
f（0）=（0-0+1）e⁰=1，
f（1）=（1-1+1）e=e．
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值f（x）_min=f（0）=1，最大值f（x）_max=f（1）=e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．