Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-b．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828）
（1）若曲線y=f（x）在x=1處取得極值1，求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y≥x-b}\end{array}\right.$所表示的區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 本題屬于導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)題型．（1）求a，b的值，主要是理解函數(shù)的極值定義得到f'（1）=0，f（1）=1；
（2）函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y≥x-b}\end{array}\right.$所表示的區(qū)域內(nèi)，要轉(zhuǎn)換為e^x-ax-b≥x-b對(duì)x∈（0，+∞）恒成立問(wèn)題．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-b，
∴f'（x）=e^x-a，
∵曲線y=f（x）在x=1處取得極值1，
∴f'（1）=0，f（1）=1，從而 $\left\{\begin{array}{l}{e-a=0}\\{e-a-b=1}\end{array}\right.$
∴a=e，b=-1；
（2）由題意得e^x-ax-b≥x-b對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
即：e^x≥（a+1）x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，∴$a+1≤\frac{{e}^{x}}{x}$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
設(shè)$g（x）=\frac{{e}^{x}}{x}$，則$g'（x）=\frac{{e}^{x}x-{e}^{x}}{{x}^{2}}=\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$
∴x∈（0，1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
從而g（x）_min=g（1）=e
∴a+1≤e  從而a的取值范圍是（-∞，e-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的極值定義，以及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的圖形，求函數(shù)最值．此類(lèi)題型屬高考常考題型，考生應(yīng)當(dāng)熟練掌握．