Question

1．若f（x）=cos（2x+φ）+b，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x），f（$\frac{2π}{3}$）=-1，則實(shí)數(shù)b的值為（　　）

• A． -2或0
• B． 0或1
• C． ±1
• D． ±2

Answer 1

分析 由題意可得 f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，求得φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z．再根據(jù)f（$\frac{2π}{3}$）=-1求得b的解析式，利用余弦函數(shù)的最值，求得b的值．

解答 解：若f（x）=cos（2x+φ）+b，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ，即φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z．
∵f（$\frac{2π}{3}$）=cos（$\frac{4π}{3}$+φ）+b=cos（$\frac{4π}{3}$+kπ-$\frac{π}{3}$  ）+b=cos（k+1）π+b=-1，b=-1-cos（k+1）π，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，b=2；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，b=0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．