Question

已知點(diǎn)P（0，5），圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，過(guò)P點(diǎn)的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．

（1）若弦AB的長(zhǎng)為4

3

，求直線l的方程
（2）若弦AB的長(zhǎng)有最小值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求圓C的方程：x²+y²+4x-12y+24=0，我們可以求出圓心C的坐標(biāo)和圓的半徑r，結(jié)合直線l被圓C截得的線段AB長(zhǎng)，代入圓的弦長(zhǎng)公式，可得弦心距d，再由點(diǎn)到直線距離公式，可求出直線l的斜率，由直線l過(guò)點(diǎn)P，可得直線的點(diǎn)斜式方程．解答時(shí)要注意直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意．
（2）弦AB的長(zhǎng)有最小值時(shí)，CP⊥AB，求出斜率，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）由已知得（x+2）²+（y-6）²=16
∴圓C的圓心C（-2，6），半徑為4．
由已知|AB|=4

3

，|AC|=4
設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，
∴|AD|=2

3

，
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，得k=

3

4

，…
此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0．
又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x=0．
∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0．
（2）弦AB的長(zhǎng)有最小值時(shí)，CP⊥AB，
∵k_CP=-

1

2

，∴k_AB=2，
∴弦AB的長(zhǎng)有最小值時(shí)，直線l的方程為y=2x+5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，求直線的方程，求圓的方程，屬于中檔題．