Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，其圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 切線的斜率即為函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，讓f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$恒成立即可，再由不等式恒成立時(shí)所取的條件得到實(shí)數(shù)a范圍．

解答 解：由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，（a＞0），得到f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$
∴f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$，且以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立
則f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在（0，3]上恒成立，即a≥x₀-$\frac{1}{2}$x₀²在（0，3]上恒成立，
令g（x）=x₀-$\frac{1}{2}$x₀²（0＜x≤3），可知g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
故答案為：a≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在圖象上某點(diǎn)處的切線的斜率就是在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，此題是中檔題．