Question

2．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M，N兩點(diǎn)在雙曲線C上，且MN∥F₁F₂，線段F₁N交雙曲線C于點(diǎn)Q，且|F₁Q|=|QN|．若|F₁F₂|=λ|MN|（λ＞0），則λ的取值范圍為（2，+∞）．

Answer 1

分析 運(yùn)用雙曲線的對(duì)稱性由條件可設(shè)N（$\frac{c}{λ}$，t），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，再由N，Q在雙曲線上，滿足雙曲線的方程，運(yùn)用離心率大于1，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由2c=|F₁F₂|=λ|MN|（λ＞0），可得
|MN|=$\frac{2c}{λ}$，
由MN∥F₁F₂，可設(shè)N（$\frac{c}{λ}$，t），
由|F₁Q|=|QN|，可得
Q為F₁N的中點(diǎn)，可得Q（$\frac{c（1-λ）}{2λ}$，$\frac{t}{2}$），
由N，Q在雙曲線上，可得
$\frac{{c}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{c}^{2}（1-λ）^{2}}{4{λ}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{4^{2}}$=1．
由e=$\frac{c}{a}$＞1，移項(xiàng)整理可得，
$\frac{{e}^{2}}{{λ}^{2}}$-1=$\frac{{e}^{2}（1-λ）^{2}}{{λ}^{2}}$-4，
即有e²•$\frac{{λ}^{2}-2λ}{{λ}^{2}}$=3，
即為$\frac{3λ}{λ-2}$＞1，解得λ＞2或λ＜-1，
由λ＞0，可得λ＞2．
故答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和運(yùn)用，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程，以及離心率的范圍，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．