【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點；

（2）若恒成立，求的取值范圍.

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間：；單調(diào)遞增區(qū)間：；零點為：（2）

【解析】

（1）求導根據(jù)導函數(shù)正負得到單調(diào)區(qū)間；令，再結(jié)合單調(diào)性可知唯一零點為；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為圖像恒在上方，利用臨界狀態(tài)，即直線與相切的情況，求得相切時；從而可構(gòu)造出，利用導數(shù)求得，由此可得取值范圍.

（1）

令，解得：

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

令，解得：

所以函數(shù)的零點是

（2）畫出的大致圖像，如圖所示

設(shè)，則的圖像恒過點

設(shè)函數(shù)的圖像在點處的切線過點

所以，

的圖像在處的切線方程為

將代入切線方程，得

整理得：

設(shè)

令，得或

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又，，

所以是方程的唯一解

所以過點且與的圖像相切的直線方程為

令，則

當時，；當時，

又，即在上恒成立

即函數(shù)的圖像恒在其切線的上方

數(shù)形結(jié)合可知，的取值范圍

練習冊系列答案
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（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)點P是橢圓C上異于A，B的點，直線交直線于點，當點運動時，判斷以為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

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（2）過點的直線與曲線交于、兩點，點的坐標為，的面積為，求的最大值，及直線的方程.

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（1）求點的軌跡；

（2）過點作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

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求證：當時，

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（1）求橢圓E的方程；

（2）過點F1作直線l與橢圓E交于C，D兩點，若△OCD的面積為，求直線l的方程．

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