Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-2lnx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設g（x）=x³-x+t，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.718）恰有兩個不同的零點，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）由題意可得t=x-2lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個不同的實根，令k（x）=x-2lnx，求出導數(shù)和單調區(qū)間，可得極值，即為最值，求得端點處的函數(shù)值，即可得到所求t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)定義域為（0，+∞），
f（x）的導數(shù)為$f'（x）=3{x^2}-\frac{2}{x}$，
曲線在點（1，f（1））處的切線斜率為1，又f（1）=1，
可得所求切線方程為y-1=1（x-1），即x-y=0；
（Ⅱ）函數(shù)h（x）=-2lnx+x-t在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個不同的零點，
等價于-2lnx+x-t=0在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個不同的實根，
等價于t=x-2lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個不同的實根，
令k（x）=x-2lnx，則$k'（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$，
當$x∈（\frac{1}{e}，2）$時，k'（x）＜0，可得k（x）在$（\frac{1}{e}，2）$遞減；
當x∈（2，e]時，k'（x）＞0，即有k（x）在（2，e]遞增．
故k_min（x）=k（2）=2-2ln2，
又$k（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}+1，k（e）=e-1$，
由$k（\frac{1}{e}）-k（e）=2-e+\frac{1}{e}＜0$，可得$k（\frac{1}{e}）＜k（e）$，
則$k（1）＜t≤k（\frac{1}{e}）$，即$t∈（2-2ln2，1+\frac{1}{e}]$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉化思想，以及參數(shù)分離和構造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．