Question

16．已知雙曲線C：mx²+ny²=1（m＜0，n＞0）的一條漸近線與圓x²+y²-6x-2y+9=0相切，則C的離心率等于（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{25}{16}$
• D． $\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線的漸近線和圓相切的等價(jià)條件建立方程得到a，b的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：圓x²+y²-6x-2y+9=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y-1）²=1，
則圓心為M（3，1），半徑R=1，
由mx²+ny²=0得$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$-$\frac{{x}^{2}}{-\frac{1}{m}}$=1，
則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，則對(duì)應(yīng)的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)雙曲線的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，即ax-by=0，
∵一條漸近線與圓x²+y²-6x-2y+9=0相切，
∴即圓心到直線的距離d=$\frac{|3a-b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
即|3a-b|=c，
平方得9a²-6ab+b²=c²=a²+b²，
即8a²-6ab=0，
則4a-3b=0，
則b=$\frac{4}{3}$a，平方得b²=$\frac{16}{9}$a²=c²-a²，
即c²=$\frac{25}{9}$a²，
則c=$\frac{5}{3}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件建立方程是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．