Question

1．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{m+1}$+$\frac{y^2}{3-n}$=1與雙曲線(xiàn)C₂：$\frac{x^2}{m}$-$\frac{y^2}{-n}$=1有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C₂的一條斜率為正的漸近線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為（　　）

• A． （45°，90°）
• B． （45°，90°]
• C． （0，45°）
• D． （45°，60°）

Answer 1

分析 討論焦點(diǎn)在x軸上和y軸上，將橢圓、雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由基本量的關(guān)系和條件，求得n=1，-1＜m＜0，由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，可得斜率，進(jìn)而得到傾斜角的范圍．

解答 解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由題意知：m＞0，n＜0，
橢圓${C_1}：\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-n}=1$中，$a_1^2=m+1，b_1^2=3-n$，
則$c_1^2=a_1^2-b_1^2=m+n-2$；
雙曲線(xiàn)${C_2}：\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{-n}=1$中，$a_2^2=m，b_2^2=-n$，
則$c_2^2=a_2^2+b_2^2=m-n$；
由題意，m+n-2=m-n，解得n=1，這與n＜0矛盾；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由題意知-1＜m＜0，0＜n＜3，
橢圓${C_1}：\frac{y^2}{3-n}+\frac{x^2}{m+1}=1$中，$a_1^2=3-n，b_1^2=m+1$，
則$c_1^2=a_1^2-b_1^2=-m-n+2$；
雙曲線(xiàn)${C_2}：\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{-n}=1$可化為${C_2}：\frac{y^2}{n}-\frac{x^2}{-m}=1$，$a_2^2=n，b_2^2=-m$，
則$c_2^2=a_2^2+b_2^2=n-m$；
由題意，-m-n+2=n-m，解得n=1，
雙曲線(xiàn)C₂的一條斜率為正的漸近線(xiàn)的斜率為$k=\frac{a_2}{b_2}=\sqrt{\frac{n}{-m}}=\sqrt{-\frac{1}{m}}$，
又因?yàn)?1＜m＜0，所以$-\frac{1}{m}＞1$，所以$\sqrt{-\frac{1}{m}}＞1$，
即雙曲線(xiàn)C₂的一條斜率為正的漸近線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為（45°，90°），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的傾斜角的范圍，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法和橢圓、雙曲線(xiàn)的基本量的關(guān)系，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．