1.已知橢圓C1:$\frac{x^2}{m+1}$+$\frac{y^2}{3-n}$=1與雙曲線C2:$\frac{x^2}{m}$-$\frac{y^2}{-n}$=1有相同的焦點,則雙曲線C2的一條斜率為正的漸近線的傾斜角的取值范圍為(  )
A.(45°,90°)B.(45°,90°]C.(0,45°)D.(45°,60°)

分析 討論焦點在x軸上和y軸上,將橢圓、雙曲線的方程化為標準方程,由基本量的關系和條件,求得n=1,-1<m<0,由雙曲線的漸近線方程,可得斜率,進而得到傾斜角的范圍.

解答 解:當焦點在x軸上時,由題意知:m>0,n<0,
橢圓${C_1}:\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-n}=1$中,$a_1^2=m+1,b_1^2=3-n$,
則$c_1^2=a_1^2-b_1^2=m+n-2$;
雙曲線${C_2}:\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{-n}=1$中,$a_2^2=m,b_2^2=-n$,
則$c_2^2=a_2^2+b_2^2=m-n$;
由題意,m+n-2=m-n,解得n=1,這與n<0矛盾;
當焦點在y軸上時,由題意知-1<m<0,0<n<3,
橢圓${C_1}:\frac{y^2}{3-n}+\frac{x^2}{m+1}=1$中,$a_1^2=3-n,b_1^2=m+1$,
則$c_1^2=a_1^2-b_1^2=-m-n+2$;
雙曲線${C_2}:\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{-n}=1$可化為${C_2}:\frac{y^2}{n}-\frac{x^2}{-m}=1$,$a_2^2=n,b_2^2=-m$,
則$c_2^2=a_2^2+b_2^2=n-m$;
由題意,-m-n+2=n-m,解得n=1,
雙曲線C2的一條斜率為正的漸近線的斜率為$k=\frac{a_2}{b_2}=\sqrt{\frac{n}{-m}}=\sqrt{-\frac{1}{m}}$,
又因為-1<m<0,所以$-\frac{1}{m}>1$,所以$\sqrt{-\frac{1}{m}}>1$,
即雙曲線C2的一條斜率為正的漸近線的傾斜角的取值范圍為(45°,90°),
故選:A.

點評 本題考查雙曲線的漸近線的傾斜角的范圍,注意運用分類討論的思想方法和橢圓、雙曲線的基本量的關系,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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