Question

2．已知直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)（-1，1），則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得a與b的關(guān)系式為：a+b=2．所以 $\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）展開(kāi)化簡(jiǎn)，利用基本不等式求解即可．．

解答 解：由題意可得：直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)（-1，1），
所以a+b=2．
所以 $\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=$\frac{1}{2}$[3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$]≥$\frac{1}{2}$[3+2$\sqrt{2}$]=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{2a}$，a+b=2時(shí)，即a=2$\sqrt{2}-2$，b=4-2$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題和基本不等式的運(yùn)用．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．