Question

4．已知AC、CE為正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，點(diǎn)M，N分別在線段AC、CE上，且使得$\overrightarrow{AM}=r\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{CN}=r\overrightarrow{CE}$，如果B，M，N三點(diǎn)共線，則r的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)邊AB=1，求出A、B、C、E的坐標(biāo)，設(shè)M的坐標(biāo)，由條件和向量相等列出方程，求出M的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，求向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BN}$的坐標(biāo)，將B，M，N三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$，由共線向量的坐標(biāo)條件列出方程，求出r的值．

解答 解：建立如圖坐標(biāo)系，不妨設(shè)正六邊形ABCDEF的邊AB=1，
則A（0，0），B（1，0），C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
E（0，$\sqrt{3}$）），
設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），
∵$\overrightarrow{AM}=r\overrightarrow{AC}$，∴（x，y）=r（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
則x=$\frac{3}{2}r$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}r$，即M（$\frac{3}{2}r$，$\frac{\sqrt{3}}{2}r$），
同理可求，N的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}（1-r）$，$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+r）$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3}{2}r-1$，$\frac{\sqrt{3}}{2}r$），$\overrightarrow{BN}$=（$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}r$，$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+r）$），
∵B，M，N三點(diǎn)共線，
∴$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$，則（$\frac{3}{2}r-1$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+r）$-$\frac{\sqrt{3}}{2}r$×（$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}r$）=0，
化簡(jiǎn)得，3r²=1，解得r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用坐標(biāo)法解決向量的問(wèn)題，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量相等的條件，以及向量共線的坐標(biāo)條件，考查方程思想，轉(zhuǎn)化思想，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵．