Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-{3}^{x}}{{2}^{x}}$，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任何正整數(shù)n，點（n，S_n）都在y=f（x）的圖象上．
（1）求a₁的值；
（2）當n≥2時，求a_n；
（3）求證：{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）把點代入得到S_n=1-（$\frac{3}{2}$）ⁿ，令n=1，即可求出答案，
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可得到a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1，
（3）利用等比數(shù)列的定義即可證明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-{3}^{x}}{{2}^{x}}$=1-（$\frac{3}{2}$）^x，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任何正整數(shù)n，點（n，S_n）都在y=f（x）的圖象上，
∴S_n=1-（$\frac{3}{2}$）ⁿ，
當n=1時，a₁=S₁=1-（$\frac{3}{2}$）¹=-$\frac{1}{2}$，
（2）∵S_n=1-（$\frac{3}{2}$）ⁿ，
∴S_n-1=1-（$\frac{3}{2}$）^n-1，n≥2，
∴a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1，
（3）由（2）可知，當n=1時也成立，
∴a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1，
∴a_n-1=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，
∴{a_n}是等比數(shù)列

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列通項公式、數(shù)列的函數(shù)特征，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．