Question

5．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量$\overrightarrow α$和$\overrightarrow β$，定義$\overrightarrow α$°$\overrightarrow β$=$\frac{\overrightarrow α•\overrightarrow β}{\overrightarrow β•\overrightarrow β}$，若平面向量$\overrightarrow α$和$\overrightarrow β$滿足|$\overrightarrow a$|≥|$\overrightarrow b$|＞0，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{3}$），且$\overrightarrow a$°$\overrightarrow b$和$\overrightarrow b$°$\overrightarrow a$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，則$\overrightarrow a$°$\overrightarrow b$=1或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得 $\overrightarrow a$°$\overrightarrow b$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•cosθ}{|\overrightarrow|}$=$\frac{n}{2}$，n∈Z，$\overrightarrow b$°$\overrightarrow a$=$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$•cosθ=$\frac{m}{2}$，m∈Z，且n≥m 且 m、n∈z．根據(jù)cos²θ∈（$\frac{1}{4}$，1），即$\frac{mn}{4}$∈（$\frac{1}{4}$，1），可得n和m的值；可得
$\overrightarrow a$°$\overrightarrow b$=$\frac{n}{2}$ 的值．

解答 解：任意兩個(gè)非零的平面向量$\overrightarrow α$和$\overrightarrow β$，定義$\overrightarrow α$°$\overrightarrow β$=$\frac{\overrightarrow α•\overrightarrow β}{\overrightarrow β•\overrightarrow β}$，若平面向量$\overrightarrow α$和$\overrightarrow β$滿足|$\overrightarrow a$|≥|$\overrightarrow b$|＞0，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{3}$），
且$\overrightarrow a$°$\overrightarrow b$和$\overrightarrow b$°$\overrightarrow a$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，
則$\overrightarrow a$°$\overrightarrow b$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\overrightarrow•\overrightarrow}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|•cosθ}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•cosθ}{|\overrightarrow|}$=$\frac{n}{2}$，n∈Z，
$\overrightarrow b$°$\overrightarrow a$=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}}$=$\frac{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|•cosθ}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$•cosθ=$\frac{m}{2}$，m∈Z，
∵|$\overrightarrow a$|≥|$\overrightarrow b$|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z．
∴cos²θ=$\frac{mn}{4}$．再由$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{3}$），可得cos²θ∈（$\frac{1}{4}$，1），即$\frac{mn}{4}$∈（$\frac{1}{4}$，1）．
∴n=2，m=1；或n=3，m=1，∴$\overrightarrow a$°$\overrightarrow b$=$\frac{n}{2}$=1；或  $\overrightarrow a$°$\overrightarrow b$=$\frac{n}{2}$=$\frac{n}{2}$，
故答案為：1或$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，得到n≥m 且m、n∈z，且$\frac{mn}{4}$∈（$\frac{1}{4}$，1），是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．