Question

17．已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-ax+$\frac{2a}{3}$）在x∈（-∞，1]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并判斷f（x）在x∈
（-∞，1]上為是增函數(shù)還是減函數(shù)．

Answer 1

分析 由題意：函數(shù)f（x）=log_a（x²-ax+$\frac{2a}{3}$）在x∈（-∞，1]上為單調(diào)函數(shù)，則x²-ax+$\frac{2a}{3}$在x∈（-∞，1]上必須大于0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，同增異減，即可判斷其單調(diào)性！

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=log_a（x²-ax+$\frac{2a}{3}$）在x∈（-∞，1]上為單調(diào)函數(shù)，
即：函數(shù)h（x）=x²-ax+$\frac{2a}{3}$）在x∈（-∞，1]有h（x）＞0恒成立．
那么：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}＞1}\\{h（1）＞0}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜3，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3）．
∵2＜a＜3，
∴f（x）=log_ah（x）（h（x）＞0）在定義域內(nèi)是增函數(shù)．
h（x））=x²-ax+$\frac{2a}{3}$在x∈（-∞，1]是減函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”，
可得f（x）在x∈（-∞，1]上為是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)算能力和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的運(yùn)用能力．屬于中檔題．