Question

18．在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，asinA+bsinB=csinC+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$asinB．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）設(shè)b=$\sqrt{5}$，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡可得：a²+b²=c²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ab，利用余弦定理可求cosC的值，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，cosA，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB，結(jié)合B為銳角，由特殊角的三角函數(shù)值即可得解B的值．
（Ⅱ）由（1）及正弦定理可得a的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵在銳角△ABC中，asinA+bsinB=csinC+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinB．
∴由正弦定理可得：a²+b²=c²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，A為銳角，可得：cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
而B為銳角，∴B=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）∵由（1）B=$\frac{π}{4}$，b=$\sqrt{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×3×$$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=3．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．