Question

9．以下四個(gè)命題：
①若函數(shù)y=e^x-mx（m∈R）有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m＞1；
②命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極大值10，則$\frac{a}$的值為-2或$-\frac{2}{3}$．
其中真命題的序號(hào)為①②③（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷；
②直接寫出特稱命題的否定判斷；
③根據(jù)一元二次方程與橢圓和雙曲線的離心率進(jìn)行判斷；
④根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求出a，b的關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：①∵y=e^x-mx，∴y'=e^x-m．
若y=e^x-mx（x∈R）有大于零的極值點(diǎn)，則等價(jià)為y′=e^x-m=0有大于0的實(shí)根，
即m=e^x有大于0的實(shí)根，∵x＞0，∴e^x＞1．∴m＞1．故①正確；
②命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故②正確；
③方程2x²-5x+2=0的兩根$\frac{1}{2}$和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故④正確；
④∵f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a，∴f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，
∴a²+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
當(dāng)a=-2，b=1時(shí)，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1處取得極小值，與題意不符；
當(dāng)a=-6，b=9時(shí)，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1處取得極大值，符合題意．
則$\frac{a}$=-$\frac{6}{9}$=-$\frac{2}{3}$，故④錯(cuò)誤．
∴正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，橢圓，雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，是中檔題．