3.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{3}sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)$為偶函數(shù),且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$.
(1)求$f(\frac{π}{8})$的值;
(2)將函數(shù)$y=f(x+\frac{π}{6})$的圖象,經(jīng)怎樣的變化得到函數(shù)y=sinx的圖象(寫出兩種方法).
(3)已知函數(shù)g(x)=Asin(wx+ϕ)+B,A≠0,w≠0
①寫出g(x)的對稱中心的坐標(biāo)及對稱軸方程;
②若g(x)為奇函數(shù),寫出應(yīng)滿足的條件.

分析 (1)先用兩角和公式對函數(shù)f(x)的表達(dá)式化簡得f(x)=2sin(ωx+φ-$\frac{π}{6}$),利用偶函數(shù)的性質(zhì)即f(x)=f(-x)求得ω,進(jìn)而求出f(x)的表達(dá)式,把x=$\frac{π}{8}$代入即可.
(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的變化可得函數(shù)y=f(x)的解析式;
(3)根據(jù)三角函數(shù)的對稱中心和對稱軸方程得到關(guān)于w和∅的方程求出x.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)$f(x)=\sqrt{3}sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)$=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin(ωx+φ)-$\frac{1}{2}$cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-$\frac{π}{6}$).
∵f(x)為偶函數(shù),
∴對x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,
∴sin(-ωx+φ-$\frac{π}{6}$)=sin(ωx+φ-$\frac{π}{6}$).
即-sinωxcos(φ-$\frac{π}{6}$)+cosωxsin(φ-$\frac{π}{6}$)=sinωxcos(φ-$\frac{π}{6}$)+cosωxsin(φ-$\frac{π}{6}$),
整理得sinωxcos(φ-$\frac{π}{6}$)=0.
∵ω>0,且x∈R,所以cos(φ-$\frac{π}{6}$)=0.
又∵0<φ<π,故φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$.
∴f(x)=2sin(ωx+$\frac{π}{2}$)=2cosωx.
由題意得$\frac{2π}{ω}$=π,所以ω=2.
故f(x)=2cos2x.
∴f($\frac{π}{8}$)=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$.
(Ⅱ)將函數(shù)$y=f(x+\frac{π}{6})$=2cos2(x$+\frac{π}{6}$)的圖象,向右平移$\frac{π}{3}$,得到y(tǒng)=2sin2x圖象,
然后將其圖象的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大原來的2倍,縱坐標(biāo)也縮小原來的$\frac{1}{2}$,得到函數(shù)y=sinx的圖象;
或者將函數(shù)$y=f(x+\frac{π}{6})$=2cos2(x$+\frac{π}{6}$)的圖象將其圖象的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大原來的2倍,縱坐標(biāo)也縮小原來的$\frac{1}{2}$,得到函數(shù)y=cos(x+$\frac{π}{6}$)的圖象,
然后向右平移$\frac{2π}{3}$,得到y(tǒng)=cos(x-$\frac{2π}{3}+\frac{π}{6}$)=sinx圖象.;
(3)已知函數(shù)g(x)=Asin(wx+ϕ)+B,A≠0,w≠0
①令由wx+Φ=$\frac{kπ}{2}$,k∈Z
解得:x=$\frac{kπ}{2ω}-\frac{∅}{ω}$,k∈Z
∴對稱軸方程:x=$\frac{kπ}{2ω}-\frac{∅}{ω}$,k∈Z
由wx+∅=kπ,k∈Z,解得x=$\frac{kπ}{w}-\frac{∅}{w}$,k∈Z.
對稱中心坐標(biāo):($\frac{kπ}{w}-\frac{∅}{w}$,-B),k∈Z;
②若g(x)為奇函數(shù),則∅=kπ,且B=0.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì),及圖象變換,考查函數(shù)的奇偶性與周期性,重點(diǎn)考查三角函數(shù)的平移變換,屬于中檔題.

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