Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}B}$（λ＞0），其中A、B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)．若在△AF₁B中，∠F₁AB=90°，|F₁B|=$\sqrt{2}$|AB|，則雙曲線C的離心率的平方的值為（　�。�

• A． 5+2$\sqrt{2}$
• B． 5-2$\sqrt{2}$
• C． 6-$\sqrt{2}$
• D． 6+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|AF₁|=|AB|=m，計(jì)算出|AF₂|=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的關(guān)系，從而求出e²的值．

解答 解：由題意，設(shè)|AF₁|=|AB|=m，
則|BF₁|=$\sqrt{2}$m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=$\sqrt{2}$m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+$\sqrt{2}$m-2a=m，
∴4a=$\sqrt{2}$m，
∴|AF₂|=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m，
∵△AF₁F₂為Rt三角形，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（$\frac{5}{2}$-$\sqrt{2}$）m²，
∵4a=$\sqrt{2}$m，
∴4c²=（$\frac{5}{2}$-$\sqrt{2}$）×8a²，
∴e²=5-2$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義，解題的關(guān)鍵是確定|AF₂|，從而利用勾股定理求解．